Prove the following trigonometric identities

Question 1 :  \(\frac{tan θ + sec θ - 1 }{tan θ  - sec θ  + 1} \) =  \(\frac{1 + sin θ}{cos θ}\) = \({tan θ + sec θ}\)

Solution :   \(\frac{tan θ + sec θ - 1 }{tan θ  - sec θ  + 1} \) =  \(\frac{1 + sin θ}{cos θ}\) = \({tan θ + sec θ}\)

     LHS = \(\frac{tan θ + sec θ - 1 }{tan θ  - sec θ  + 1} \) = \(\frac{tan θ + sec θ  - sec^2θ - (tan^2θ) }{tan θ  - sec θ  + 1}\) 

 \(\frac{tan θ + sec θ - [(sec θ + tan θ)(sec θ -tan θ]}{tan θ  - sec θ  + 1} \) =  \(\frac{(tan θ + sec θ) (tan θ  - sec θ  + 1  }{tan θ  - sec θ  + 1} \)

tan θ  + sec θ  =  \(\frac{sin θ}{cos θ} ×  \frac{1}{cos θ}\)  =  \(\frac{sin θ + 1}{cos θ}\)

= \(\frac{sin θ ~ cos θ [ 1 - (sin θ - cos θ)] + (sin θ - cos θ)}{[1 + (sin θ - cos θ) ] [ 1 - ( sin θ - cos θ )}\) 

Question 2 :    \(\frac{cos x - sin x + 1 }{cos x + sin x - 1}\)  =  \(\frac{cos x - 1  }{sin x}\)

Solution :    \(\frac{cos x - sin x + 1 }{cos x + sin x - 1}\)   =  \(\frac{\frac{cos x}{sin x} - \frac{sin x}{sin x} + \frac{1}{sin x}}{\frac{cos x}{sin x} - \frac{sin x}{sin x} - \frac{1}{sin x}}\)  =  \(\frac{cot x  - 1  + csc x }{cot x + 1 - csc x}\)

=  \(\frac{cot x + csc x - (csc^2x - cot^2x)}{cot x + 1 - csc x}\)   =    \(\frac{cot x + csc x - [(cscx + cot x)(csc x - cot x]}{cot x + 1 - csc x}\) 

=  \(\frac{cot x + csc x )1 - (cscx - cotx)}{cot x + 1 - csc x}\)  =  \(\frac{cot x + csc x )(cscx + 1 - cot x)}{cot x + 1 - csc x}\)

= \(cot ~x  + csc~ x\) =    \(\frac{cos x }{sin x} + \frac{1}{sin x}\)  =    \(\frac{cos x  + 1 }{sin x}\)

Question 3 :   \(\frac{sin θ }{sec θ  +  tan θ  -1} + \frac{cos θ }{csc θ  +  cot θ - 1}\)

Solution :    \(\frac{sin θ }{sec θ  +  tan θ  -1} + \frac{cos θ }{csc θ  +  cot θ - 1}\)

LHS =  \(\frac{sin θ }{sec θ  +  tan θ  -1} + \frac{cos θ }{csc θ  +  cot θ - 1}\) =   \(\frac{sin θ }{\frac{1}{cos θ}} + \frac{sin θ}{cos θ - 1}  +  \frac{cos θ}{\frac{1}{sin θ}} + \frac{cos θ}{sin θ} - 1\)

= \(\frac{sin θ . cos θ   }{1 + sin θ   - cos θ }\)  + \(\frac{ cos θ ~ sin θ  }{1 + sin θ   - cos θ }\)  =  \(\frac{sin θ . cos θ   }{1 + sin θ   - cos θ }\)  +  \(\frac{ cos θ ~ sin θ  }{1 - ( sin θ   - cos θ) }\)

=  \(\frac{sin θ ~cos θ[ 1 - ( sin θ - cos θ ) ] + 1 + (sin θ  - cos θ }{1 + ( sin θ   - cos θ)][1 - (sin θ  -  cos θ ]}\)  = \(\frac{2~sin θ cos θ [2] }{1 - (sin θ - cos θ ) ^2 }\)

=  \(\frac{2~sin θ cos θ}{1 - (sin ^2θ - cos^2 θ - 2 sin θ  cos θ  ) }\)  =  \(\frac{2~sin θ cos θ }{1 - (1 - 2~sin θ cos θ)}\)  =  \(\frac{2~sin θ  cos θ }{2~sin θ  cos θ }\)  =  1